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Um objeto com uma massa de # 5 kg # é empurrado ao longo de um caminho linear com um coeficiente de atrito cinético de #u_k (x) = e ^ x-2x + 3 #. Quanto trabalho seria necessário para mover o objeto sobre # x em [3, 4], onde x está em metros?

Responda:

#W = 1497 # # "J" #

Explicação:

Somos convidados a encontrar o trabalho necessário que precisa ser feito em um #5#-#"kg"# objeto para mover o intervalo de posição #x em [3color (branco) (l) "m", 4color (branco) (l) "m"] # com um coeficiente variável de atrito cinético # mu_k # representado pela equação

#ul (mu_k (x) = e ^ x - 2x + 3 #

O trabalho #W# feito pela força necessária é dada por

#ulbar (| stackrel ("") ("" W = int_ (x_1) ^ (x_2) F_xdx "") |) # #color (branco) (a) # (uma dimensão)

Onde

  • # F_x # é a magnitude da força necessária

  • # x_1 # é a posição original (#3# # "m" #)

  • # x_2 # é a posição final (#4# # "m" #)

A força necessária precisaria ser igual a (ou maior que, mas estamos procurando mínimo valor) a força de atrito retardante, então

#F_x = f_k = mu_kn #

Desde que a superfície é horizontal, #n = mg #, assim

#ul (F_x = mu_kmg #

A quantidade # mg # é igual a

#mg = (5 cores (branco) (l) "kg") (9,81 cor (branco) (l) "m / s" ^ 2) = 49,05 cores (branco) (l) "N" #

E nós também conectamos o coeficiente acima da equação de atrito cinético:

#ul (F_x = (49,05 cores (branco) (l) "N") (e ^ x-2x + 3) #

O trabalho é o integral da forçae estamos medindo isso # x = 3 # # "m" # para # x = 4 # # "m" #, então podemos escrever

#color (vermelho) (W) = int_ (3 cores (branco) (l) "m") ^ (4 cores (branco) (l) "m") (49,05 cores (branco) (l) "N") (e ^ x-2x + 3) dx = cor (vermelho) (ulbar (| stackrel ("") ("" 1497color (branco) (l) "J" "") |) #